2023年坐标系,教学设计（精选文档）

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坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： x′＝ λ>0，y′＝ μ>0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个______O，叫做极点；自极点 O 引一条______Ox，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的______叫做点 M 的极径，记为____；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角______叫做点 M 的极角，记为____．有序数对______叫做点 M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ____0，θ 可取__________． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示． 如果规定 ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________． (2)互化公式：如图所示，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

　　 点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝__________， y＝__________ ρ 2 ＝________， tan θ ＝_________ 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 圆心为(r， π2 )，半径为 r 的圆 过极点，倾斜角为 α 的直线 (1)__________或__________ (2)θ＝α(ρ≥0)和________(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点(a，π2 )，与极轴平行的直线 1．在极坐标系中，若点 A，B 的坐标分别是(3，π3 )，(4，－π6 )，则△AOB 为________三角形． 2．在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋ π4 )＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为________． 3．(课本习题改编)极坐标方程 ρ＝sin θ＋2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程为________． 4．曲线 ρ＝4sin θ 与 ρ＝2 的交点坐标是________. 题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换 例 1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：

　　  x′＝3x，2y′＝y， (1)求点 A( 13 ，－2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标；

　　(2)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程；

　　(3)求双曲线 C：x 2 － y264 ＝1 经过 φ 变换后所得到的曲线 C′的焦点坐标． 椭圆x 24＋y 2 ＝1 经过伸缩变换 x′＝ 12 x，y′＝y后的曲线方程为________． 题型二 极坐标与直角坐标的互化 例 2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线 C 1 ：ρ( 2cos θ＋sin θ)＝1 与曲线 C 2 ：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则 a＝________. (2013·北京)在极坐标系中，点  2， π6到直线 ρsin θ＝2 的距离等于________． 题型三 求曲线的极坐标方程 例 3 已知 P，Q 分别在∠AOB 的两边 OA，OB 上，∠AOB＝ π3 ，△POQ 的面积 为 8，则 PQ 中点 M 的极坐标方程为________． (1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ π6 .若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式，则 f(θ)＝________. (2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P  2， π4，圆心为直线ρsin  θ－ π3＝－32与极轴的交点，则圆 C 的极坐标方程为________． 转化与化归思想在坐标系中的应用 典例：(5 分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直线 θ＝ π6 (ρ∈R)的距离是________． 方法与技巧 1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P′(x′，y′)是变换图形后的点的坐标，P(x，y)是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆． 2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 ρ 等． 3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 即可． 失误与防范 极径 ρ 是一个距离，所以 ρ≥0，但有时 ρ 可以小于零．极角 θ 规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与 P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定 ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.