投资问题数学建模8篇

篇一：投资问题数学建模

　　投资问题及数学建模论文 投资问题及数学建模论文预读: 摘要：1 数学建模方法的研究 1.1 简述数学及数学建模 美国科学院院士 Glimm 在他编著的《数学科学、技术和经济竞争力》的报告里指出：“数 学科学对于经济竞争是生死攸关的”,认为“在数学科学里,技术转化远低于其潜力”“,这种由研 究到技术转化,对加强经济竞争力 具有重要意义”. 从而,数学向 一切领域渗透以及 实现数学科 学技术转化, 是当代数学发展最具生命力的方面.近代计算技术的快速发展, 为数学的发展提 供了最有力的工具.在高新计算机技术支持下的数学建模,成为目前发展数学向一切领域渗透 及数学科学技术转化的主要途径.由于利用数学方法解决实际问题时,首先要进行的工作是建 立数学模型,而建立一个较好的数学模型成为解决实际问题的关键. 1.2 对模型与数学模型的认识 一般地说模型是 我们所研究 的客观事物 有关属性的 模拟,它应当具有 事物中使我 们感兴趣 的主要性质.好的模型应当具有它所模拟对象的主要功能.例如：航模飞机就是对于飞机的一 种模型.但模拟不一定是对实体的一种仿制,也可以是对某些基本属性的抽象.例如：日常生活 中使用的各种图纸.那么什么是数学建 模呢？数学建模就是 指将某一领域或部 门的某一实际 问题,经过抽象简化、明确变量和参数,并依据某种“规律”建立变量和参 数间的一个明确的数 学关系（即数学模型）,然后求解该数学问题,并对此结果进行解释和验证.若通过,则可投入使 用,否则将返回去,重新对问题的假设进行改进.按照 E.A.Bender 的提法,认为数学模型乃是“关 于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构“.由于个人的讲法不一,不必过于追 求严格的定义.总之,数学模型是一种抽象的模拟,它用数学符号、数学式子、程序、图形等刻 画客观事物的本质属性与内在联系,是现实世界的简化而又本质的描述.它或者能解释事物的 各种性态、预测它将来的性 态, 或者能为控制这一事物的发 展提供某种意义下 的最优策略或 较好策略.例如,在科学发现上比较有名的万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重要贡献之 一,正是为了建立这一定律,他发明了微积分方法,通过数学建模的方法,推导出万有引力定律. 1.3 数学建模的一般步骤 由于数学建模面对的是现实世界 中的形形色色的事物,不可能用一 个统一的格式来说明,下 面大致归纳建立数学模型的一 般步骤.1）了解问题的实际背 景,明确数学建模的目的,掌握必 要的数据资 料,为进一 步数学 建模做准 备.为了做 好这一步 工作,有时 要求建 模者作一 番深入 细致的调查研究,有时需向有关方面的 专家能人请教, 以便掌握较为可 靠的第一手资料.2）在 明确建模目的,掌握必 要资料的基 础上,抓住主要矛 盾,对问题作必 要的简化,提出几 条恰当的 假设.十六世 纪初, 著名天 文学家 开普勒正 是在第 谷二十年 积累起 来的资料 基础上,提 出了科 学的假设.如果当时没有开普勒的假设,人们对现实世界天文学的感性认识就不可能迅速上升 到理性的阶段.一般在 提出假设时,如 果考虑的元素 过多,过于繁复, 会使 模型过于复 杂而无法 求解,考虑的 因素过少 、过于 简单,又会使 模型过 于粗糙得 不出多 少有用的 结果而 归于失 败. 此时,应当修改假设重新建模,一个较理想的模型 往往需要经过反复多 次地修改才能得出.3） 之前已经根 据问题 背景提出 了适当 合理的假 设,在此基 础上,各变 量之间存 在某种 关系,采用 恰当的数学工具来表示以上这种关系,为其构造相对应的数学结构,根据构造的数学结构建立 相应的数学模型.在建立数学模型时要 综合考虑建模所要达 到的要求目的、问 题的特征的问 题,此外还要考虑负责数学建模人员的数学特长等问题.在建立数学模型时可能会用到任意一 个数学分支,即使是同样的问题也可以建立不同的数学模型,只因所采用的数学方法有所差异. 人们可以采用多种数学方法达到所预期的要求目的,通常在这种情况下,人们会采用较为简单 的数学工 具.4)分析并 检测所 建立的 数学 模型.人们 之所 以建立 数学模 型是为 了解决 问题,更 好的解释自然现象并改造自 然以此来满足人们生 活需要,所以说数学建模不是 我们的最终目 的.在建立数学模型时我们应该充分考虑模型求解的问题,模型求解包括以下几部分内容：逻

　　辑推理、图解、解方程、定 理证明、讨论稳定性 等.建立模型并将模型所得结 果与实际情况 进行比较,通 过这种比 较来检 测数学模 型的正 确性.通常,一 个较成功 的模型 不仅应当 能解释 已知现象,还应当能预言一些未知的现象,并能被实践所证明.例如：牛顿创立的万有引力定律 就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验,才被证明是完全正确的.如果 经验结果与事实不符或部分不 符,就应当象前面所讲的那样,修改假设,重新建模.综合起来 讲, 数学建模的一般过程可以概括为：从实体信息（数据）→提出假设→建模→求解→验证→修 改→应用的一个反

　　复完善的过程. 1.4 数学建模中应当注意的两个方面 1）要具备广泛的数学基础知识,懂得它们的 背景含义及各种数学 应用问题的解法.2）重视 观察力和想象力的培养.要学会数学建模除了要学会灵活应用数学知识外,还应当注重培养自 己的观察力和想象力.著名科学家爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要,因为知识是有限 的,而想象力概括着世界上的一切,推动进步,并且是知识的源泉”. 2 对投资问题数学模型的探讨 当国家或地区财力有限时,要使有限的投资能发挥出最大的效益,必须制定最佳投资方案,使 国民经济获得最优增长.关于投资问题就是经常要提到的一个重要问题,下面采用数学方法建 立模型,并对某些结论 进行讨论.社会 生产可以分为 两大部类,第Ⅰ 部类和第Ⅱ 部类.第Ⅰ部类 的生产是用于非消费品的生产；第Ⅱ部类的生产是消费品生产.经济学理论分析,用于第Ⅰ部 类的生产资金是通过消费品的生产转化来的,同时生产出来的第Ⅰ部类产品,在一定时期内又 服务于消费 品生产.那 么,要使投 入生产的 总资本 产生最大 的经济 效益, 需确 定资本的 最佳投 入. 2.1 投资问题数学模型的建立 假设 1)t 时刻,国家投入生产的总资本为 K(t),K(0)=K0,K(T)=KT,K0 与 KT 是已知量,国民经 济总收入为 Y(t),并且有 Y(t)=〔fK(t)〕,（1）其中〔fK(t)〕是生产函数；2）国民收入主要用 于两方面,消费资金 C(t)和扩大再生产的积累资金 I(t),且有 Y(t)=C(t)+I(t)（2）消费资金产生 的效益记为 U〔C(t)〕,消费越高,为生产带来的效益越大,因此 3）人是劳动力资源,从 t=0 到 t=T 这段时期内,劳动力保持不变.在上述假设下,考虑最佳投资方案,即确定投资函数 K(t).当 充分小时,有,令,得,（3）（3）式表明 t 时刻用于扩大再生产的资金正好是 t 时刻总资本的变 化率.将（1）式（、3）式代入（2）式得到关于 K(t)的常微风方程（4）现在的问题是求 K(t), 使得（5）约束条件为 K(0)=K0,K(T)=KT,状态方程为求最佳投入资本的问题归结为解具有固 定端点的变分问题（5）.注意到,得变分问题利用 Euler 方程得常微风方程（6）因为,所以（6） 式就变为（7） 2.2 模型探讨 2.2.1 具有折扣的最佳投资模型若上述假设条件不变,把任意时刻的消费资金所产生的效益 折扣到初始时刻时,那么（5）式应改写为,约束条件为,状态方程为,其中,称为折扣率.于是 Euler 方程为.如果,那么,易得到,其中的值可由约束条件确定.2.2.2 货币贬值和劳动力增长的最佳投 资模型若在这段时间内,考虑货币贬值和 劳动力变化的因素,这时假设 ：1）是国民收入,是消 费资金,是扩大再生产的积累资金,是时刻投入生产的劳动力总数,有（8）（8）式表明,国民收 入不仅依赖于投入生产的总资本,而且也依赖于投入生产的劳动力总数.2）设国民收入按劳动 力平均计算,平均量为,则有（9）其中是人均资本.3）在任何时刻,投入扩大再生产的积累资金 应包含资本的变 化率和资本 贬值的两方 面因素,因为资本 贬值,需要追加投 入总资本,所以 有, （10）其中为常数.4）设投入扩大再生产的积累资金按劳动力平均计算,平均量为,则有,于是 有,若劳动力的相对增长率为一常数,即,就有,（11）5）为按劳动力平均的消费资金,改写（8） 式为人均收入,有.以（9）式、（10）式代入上式,得关于的微风方程,现在要求,使,约束条件为,,

　　状态方程为.当给出 U 与 f 的具体形式时,可以仿照前面的解法,求出人均最佳投入资本.