中考冲刺：代几综合问题(基础)

中考冲刺：代几综合问题(基础)
一、选择题
1.（2017•河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．　 B．　 C．D．
2. 如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（　 ）
　　
二、填空题
3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝______．
4. （2017•宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA=，那么CF：DF=______．
　　　　　　　　　　　　　　
三、解答题
5. 一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点,第三层每边有三个点……依次类推.
（1）试写出第n层所对应的点数；

　　（2）试写出n层六边形点阵的总点数；

　　（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？ 　
　　　　　　　　　　　　　　　
6. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；
点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；

　　（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；

　　（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；
若不存在，请说明理由
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
7. 阅读理解：对于任意正实数a、b，∵ 

结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中,若a．b为定值p，则a+b≥2 ,只有当a=b时,a+b有最小值2
根据上述内容，回答下列问题：
　　（1）若m＞0，只有当m=____________时，ｍ＋有最小值，最小值为____________；

　　（2）探究应用：已知A（-3,0）、B（0，-4），点P为双曲线ｙ＝（ｘ＞０）上的任一点，过点P作PC⊥ｘ轴于点C，PD⊥ｙ轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 　
　　　　　　　　　　　　　　
8. （深圳期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点．
（1）直接写出A、B的坐标；
A______，B______；

　　（2）是否存在点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；
若不存在，请说明理由．
（3）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)．
（1）求抛物线的解析式；

　　（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；

　　（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

　　②当S=时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,　 求出点R的坐标．
　　　　　　　　　　　　
10．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．
（1）求抛物线的解析式；
　
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；

　　（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．
11. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.
（1）求该抛物线的解析式；

　　（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

　　（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ＋MA的值最小？若存在,求出点M的坐标；
若不存在,请说明理由.   答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1．【答案】A.
　 【解析】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，
　　　　　 由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，
　　　　　 ∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，
　　　　　 ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，
　　　　　 在△OAB和△DAC中，
　　　　　 ，
　　　　　 ∴△OAB≌△DAC（AAS），
　　　　　 ∴OB=CD，∴CD=x，
　　　　　 ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
　　　　　 ∴y=x+1（x＞0）．
　　　　　 故选A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．【答案】A．
　 【解析】
　解：连接OP，

　∵OC=OP，

　∴∠OCP=∠OPC．

　∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，

　∴∠OPC=∠DCP．

　∴OP∥CD．

　∴PO⊥AB．

　∵OA=OP=1，

　∴AP=y=（0＜x＜1）．

　故选 A．
二、填空题
3. 【答案】1或3或；

　　　 【解析】
　 解：∵抛物线y1=2x2向右平移2个单位， 　 　
∴抛物线y2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x2-8x+8，
　　　 ∴抛物线y2的对称轴为直线x=2，
　　　 ∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B，
　　　 ∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8），
　　　 ∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，AP=|t-2|，
　　　 ∵△APB是以点A或B为直角顶点的等腰三角形，
　　　 ∴|2t2-9t+8|=|t-2|，
　　　 ∴2t2-9t+8=t-2　　 ①
　　　 2t2-9t+8=-（t-2）　 ②，
　　　 整理 ①得，t2-5t+5=0，
　　　 解得 
　　　 整理 ②得，t2-4t+3=0，
　　　 解得 t1=1，t2=3，
　　　 综上所述，满足条件的 t值为：1或3或．
　　　 故答案为：
1或3或．
4. 【答案】6：5．
　 【解析】∵DE⊥AB，tanA═，∴DE=AD，
　　　　　 ∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，
　　　　　 ∴BC=4，AB==4，
　　　　　 又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，
　　　　　 ∴AD=BD=2，DE=，
　　　　　 ∴Rt△ADE中，AE==5，∴CE=8﹣5=3，
　　　　　 ∴Rt△BCE中，BE==5，
　　　　　 如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则
　　　　　 Rt△BDE中，DH==2，
　　　　　 Rt△BCE中，CG==，
　　　　　 ∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，
　　　　　 ∴===．
　　　　　 故答案为：6：5．
三、解答题
5. 【答案与解析】
解：（1）第n层上的点数为6（n－1）（n≥2）．
　　（2）n层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝1＋＝3n(n－1)＋1．
　　（3）令3n(n－1)＋1＝169，得n＝8.所以，它一共是有8层．
6. 【答案与解析】
解：
　　（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
　　 ∴AB=8．
　　 ∴BQ=x，PB=8-2x；

　　（2）由题意，得

8-2x=x，
　　 ∴x=.
　　 ∴当x=时，△PBQ为等腰三角形；

　　（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，
　　 则 ，
　　 解得 x1=x2=2．
　　 假设成立，所以当 x=2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2．
7. 【答案与解析】
解：
　　（1）１,２；

　　（2）探索应用：设P（ｘ，），则C（ｘ，0），D（0，），

∴CA＝ｘ＋３，DB=+4,

∴S四边形ABCD=CA×DB=(x+3) ×(+4),

化简得：S=2(x+)+12，

∵x>0, >0,∴x+≥2=6，只有当x=时，即x=3，等号成立.

∴S≥2×6+12=24,

∴S四边形ABCD有最小值是24.

此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5，

∴四边形是菱形.
8. 【答案与解析】
解：（1）当x=0时，y=3．即A 点坐标是（0，3），
当y=0时，﹣x+3=0，解得x=4，即B点坐标是（4，0）；

　　（2）存在这样的P，使得△AOP周长最小
作点O关于直线x=1的对称点M，
M点坐标（2，0）连接AM交直线x=1于点P，
由勾股定理，得AM===
由对称性可知OP=MP，C△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+；

　　（3）设P点坐标为（1，a），
①当AP=BP时，两边平方得，AP2=BP2，12+（a﹣3）2=（1﹣4）2+a2．
化简，得6a=1．
解得a=．即P1（1，）；

　　②当AP=AB=5时，两边平方得，AP2=AB2，12+（a﹣3）2=52．
化简，得a2﹣6a﹣15=0．
解得a=3±2，即P2（1，3+2），P3（1，3﹣2）；

　　③当BP=AB=5时，两边平方得，BP2=AB2，即（1﹣4）2+a2=52．
化简，得a2=16．
解得a=±4，即P4（1，4），P5（1，﹣4）．
综上所述：P1（1，）；
P2（1，3+2），P3（1，3﹣2）；
P4（1，4），P5（1，﹣4）．
9. 【答案与解析】
解：
　　（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，），

∴，

∴，

∴y=﹣x2+x+2；

　　（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．

∵A（0，2）、D（4，），

∴直线AD的解析式为：y=﹣x+2，

当x=1时，y=，

则M（1，）；

　　　　　　　　　　　　　　　
（3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t，

∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，

∴S=PQ2=PB2+BQ2，

∴=（2﹣2t）2+t2，

即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．

②当S=时，=5t2﹣8t+4

即20t2﹣32t+11=0，

解得：t=，t=＞1（舍）
　　
∴P（1，2），Q（2，）．

PB=1．

若R点存在，分情况讨论：
　　
（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，　 RQ∥PB，

则R的横坐标为3，R的纵坐标为，即R（3，），代入y=﹣x2+x+2，左右两边相等，

故这时存在R（3，）满足题意；

　　
（ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，

则R（1，）代入y=﹣x2+x+2，左右两边不相等，

则R不在抛物线上

综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB．

则R（3，）．

此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上．
　　　　　　　　　　　　　
10. 【答案与解析】
解：
　　（1）点A（0，2m﹣7）代入y=﹣x2+2x+m﹣2，

m﹣2=2m﹣7，

解得：m=5

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

　　（2）如图1，由，

得，

∴B（，2），C（﹣，﹣2）B（，2），

关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′（2﹣，2），

将B′，C代入y=kx+b，得：
　　
，

解得：，

可得直线B＇C的解析式为：，

由，可得，

故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；

　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）如图2，当t秒时，P点横坐标为﹣t，则纵坐标为﹣2t，则M（﹣2t，﹣2t）在抛物线上时，

可得﹣（﹣2t） 2﹣4t+3=﹣2t，整理得出：4t2+2t﹣3=0，

解得：，

当P（﹣t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t，整理得出：t2=3，

解得：，舍去负值，

所以若△PMQ与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2有公共点t的取值范围是．
　　　　　　　　　　　　　　
11．【答案与解析】
解：
　　（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，
　　 ∴，解得，
　　 ∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；

　　（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，
　　 ∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
　　 ∴AC=5，BC=4，AB=7．
　　 ∵BD=BC，
　　 ∴AD=AB﹣BD=7﹣4，
　　 ∵CD垂直平分PQ，
　　 ∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
　　 ∵BD=BC，
　　 ∴∠DCB=∠CDB．
　　 ∴∠CDQ=∠DCB．
　　 ∴DQ∥BC．
　　 ∴△ADQ∽△ABC．
　　 ∴=，
　　 ∴=，
　　 ∴=，
　　 解得DP=4﹣，
　　 ∴AP=AD+DP=．
　　 ∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；

　
　　　　　　　
（3）如图2，设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，
　　 连接BQ交该对称轴于点M．
　　 则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，
　　 ∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，
　　 ∴tan∠EBM=tan∠ACO=，
　　 ∴=，
　　 ∴=，解ME=．
　　 ∴M（，），即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小．